Помогите решить. Дифференциальное уравнение первого порядка. Найти частное решение уравнения. Х*У'=X*(E^y/x)+У, если у(1)=0

[tex]x\cdot y'=x \cdot e^\big{ \frac{y}{x} }+y[/tex]
Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным. 

То есть, воспользуемся условием однородности
[tex]\lambda x\cdot y'=\lambda x \cdot e^\big{ \frac{\lambda y}{\lambda x} }+\lambda y\\ \\ \lambda x\cdot y'=\lambda(x \cdot e^\big{ \frac{\lambda y}{\lambda x} }+y)\\ \\ x\cdot y'=x \cdot e^\big{ \frac{y}{x} }+y[/tex]
Итак, данное дифференциальное уравнение является однородным.

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции [tex]u=u(x)[/tex] с помощью замены:
  [tex]y=ux[/tex], тогда [tex]y'=u'x+u[/tex]
[tex]x\cdot (u'x+u)=x\cdot e^\big{ \frac{ux}{x} }+ux\\ \\ x\cdot (u'x+u)=x(e^u+u)\\ \\ u'x+u=e^u+u[/tex]

[tex]u'x=e^u[/tex]
По определению дифференциала, получаем
[tex] \dfrac{du}{dx} \cdot x=e^u[/tex] - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные.
[tex] \dfrac{du}{e^u} = \dfrac{dx}{x} [/tex] - уравнение с разделёнными переменными.

Проинтегрируем обе части уравнения
[tex]\displaystyle \int\limits { \frac{du}{e^u} } \,=\int\limits { \frac{dx}{x} } \\ \\ \int\limits {e^{-u}} \, du=\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx [/tex]
[tex]-e^{-u}=\ln |x|+C[/tex] - общий интеграл новой функции.

Таким образом, определив функцию [tex]u[/tex] из решения уравнения с разделяющимися переменными, чтобы записать решение исходного однородного уравнения, остаётся выполнить обратную замену: [tex]u= \dfrac{y}{x} [/tex]

То есть, 

[tex]-e^\big{-\frac{y}{x} }=\ln |x|+C[/tex] - общий интеграл исходного уравнения.
Остаётся определить значение произвольной постоянной [tex]C[/tex]. Подставим в общий интеграл начальное условие:
[tex]-e^\big{- \frac{0}{1} }=\ln |1|+C\\ C=-1[/tex]

[tex]-e^\big{-\frac{y}{x} }=\ln |x|-1[/tex] - частный интеграл, также является решением данного дифференциального уравнения.


Ответ: [tex]-e^\big{-\frac{y}{x} }=\ln |x|-1[/tex]