Существует ли такое натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом натурального числа, после умножения на 3 становится кубом натурального числа, после умножения на 5 - пятой степенью натурального числа, а после умножения на 7 - седьмой степенью натурального числа.
Ответ объяснить.

Не существует

Я не искал но 95% что не существует =)
так что дерзай                     

существует! 
степень натурального числа является натуральным числом.

пример подходящего числа:

[tex]a=2^{105}* 3^{140}* 5^{84}*7^{90} 2a = 2^{106}* 3^{140}* 5^{84}*7^{90}; \sqrt{2a} = 2^{53}* 3^{70}* 5^{42}*7^{45} 3a = 2^{105}* 3^{141}* 5^{84}*7^{90}; \sqrt[3]{3a}=2^{35}* 3^{47}* 5^{28}*7^{30} 5a = 2^{105}* 3^{140}* 5^{85}*7^{90}; \sqrt[5]{5a} = 2^{21}* 3^{28}* 5^{17}*7^{18} 7a = 2^{105}* 3^{140}* 5^{84}*7^{91}; \sqrt[7]{7a} = 2^{15}* 3^{20}* 5^{12}*7^{13} [/tex]

объяснение:
1. при умножении числа на 2 должен извлекаться квадрат, значит, в число входит 2 в нечетной степени, 3 в четной, 5 в четной, 7 в четной.
2. степень двойки должна делиться на 3,5,7
3. степень тройки должна делиться на 2,5,7 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 3
4. степень пятерки должна делиться на 2,3,7 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 5
5. степень семерки должна делиться на 2,3,5 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 7

такое число не единственно!