В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними расставить знаки + и - так чтобы получился 0?

  Результаты операций сложения и вычитания с четными и нечетными числами

   При решении задачи воспользуемся следующими очевидными утверждениями:

• сумма и разность четных чисел - четное число;
• сумма и разность нечетных чисел - четное число;
• сумма и разность четного и нечетного чисел - нечетное число.

  Результат операций с первыми десятью натуральными числами

   Среди первых десяти натуральных чисел существует пять нечетных чисел:

      1; 3; 5; 7; 9

   и пять четных чисел:

      2; 4; 6; 8; 10.

   При операции сложения или вычитания с любым количеством четных чисел, результат всегда будет четным числом, независимо от количества аргументов.

   Однако, результат сложения или вычитания нечетных чисел зависит от количества аргументов. Поскольку для двух аргументов эти операции дают четное число, а сложение и вычитание четного и нечетного чисел приводят к нечетному числу, то при каждом новом аргументе четность операции меняется на противоположную. Стало быть, при четных количествах аргументов получаем четное число, а при нечетных количествах аргументов - нечетное число.

   Таким образом, пять четных чисел не оказывают никакого влияния на четность результата, а операции сложения и вычитания с пятью нечетными числами приводят к нечетному числу. Поэтому, общий результат всегда будет нечетным числом, а значит, как бы ни расставили между числами знаки "+" или "-", значение "0" никак не получим.

   Ответ: нельзя.