Из одинаковых на вид монет мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на чашечных весах без гирь. Какое наибольшее число монет может быть у Мудреца, если известно, что фальшивая монета более легкая?

  Наибольшее число монет для одного взвешивания

   Для начала исследуем - из скольких монет мудрец может найти единственную фальшивую монету одним взвешиванием?

   Если у мудреца всего три монеты, то положив на каждую чашу весов по одной монете, он сможет определить фальшивую монету:

      если одна чаша весов легче другой, то на этой чаше и будет фальшивая монета;

      если же весы находятся в равновесии, то фальшивой будет третья монета.

  Очевидно, что если у мудреца четыре монеты, то одним взвешиванием он никак не может найти единственную фальшивую монету, следовательно, наибольшее число монет для одного взвешивания - 3.

  Наибольшее число монет для двух взвешиваний

   Теперь рассмотрим случай двух взвешиваний. Соображение такое, что первым взвешиванием наш мудрец должен определить группу из трех монет, в которой находится фальшивая, а вторым взвешиванием, как было показано выше, из трех монет он уже сможет определить фальшивую.

   Понятно, что максимальное число монет в данном случае - 9. Мудрец на каждую чашу весов кладет по три монеты, и таким же образом, как и в случае трех монет (для одного взвешивания), определяет тройку монет, в которой находится фальшивая монета.

  Наибольшее число монет для n взвешиваний

   Из этих двух примеров следует, что каждым взвешиванием мудрец может уменьшить число монет до трех раз, а значит для n взвешиваний наибольшее число монет N(n) можно вычислить по формуле:

        N(n) = 3ⁿ;

1. N(1) = 3¹ = 3;
2. N(2) = 3² = 9;
3. N(3) = 3³ = 27;
4. N(4) = 3⁴ = 81.

   Ответ: наибольшее число монет для четырех взвешиваний - 81.