Трикутник АВК і паралелограм АВСD лежать в різних площинах.
М і N – середини відрізків АК і ВК відповідно. Обгрунтувати взаємне розміщення:
а) прямих МN і DС, прямих МN і ВD.
б) прямої МN та площини АВС.
Расписать

Ответ:

а) Взаємне розміщення прямих MN і DC:

  Пригадаємо, що М і N є серединами відрізків АК і ВК відповідно.

  Для того, щоб обгрунтувати взаємне розміщення прямих MN і DC, звернемося до властивостей паралелограма ABCD:

  - У паралелограмі протилежні сторони паралельні, тобто AB || CD і AD || BC.

  - Також, у паралелограмі діагоналі поділяються на дві рівні частини і перетинаються в серединах.

  Оскільки MN є серединою відрізка AK, то MN ділить сторону AB навпіл.

  Але AB || CD, отже, MN також ділить сторону CD навпіл.

  З цього випливає, що пряма MN є середньою лінією трикутника ADC.

  Отже, пряма MN перетинає пряму DC в її середині, і ми можемо сказати, що прямі MN і DC перетинаються.

  Взаємне розміщення прямих MN і BD:

  Знову звернемося до властивостей паралелограма ABCD:

  - У паралелограмі протилежні сторони паралельні, тобто AB || CD і AD || BC.

  - Також, у паралелограмі діагоналі поділяються на дві рівні частини і перетинаються в серединах.

  Оскільки MN є серединою відрізка VK, то MN ділить сторону BV навпіл.

  Але AB || CD, отже, MN також ділить сторону AD навпіл.

  З цього випливає, що пряма MN є середньою лінією паралелограма ABCD.

  Отже, пряма MN перетинає пряму BD в її середині, і ми можемо сказати, що прямі MN і BD перетинаються.

б) Взаємне розміщення прямої MN і площини ABC:

  Для обгрунтування взаємного розміщення прямої MN і площини ABC розглянемо властивості паралелограма ABCD:

  - У паралелограмі протилежні сторони паралельні, тобто AB || CD і AD || BC.

  - Також, у паралелограмі діагоналі поділяються на дві рівні частини і перетинаються в серединах.

  Зауважимо, що пряма MN є середньою лінією паралелограма ABCD.

  Так як пряма MN проходить через середини сторін AK і VK, то вона також проходить через середину сторони AB, оскільки AB || CD.

  Отже, пряма MN лежить в площині ABC.

  Можна сказати, що пряма MN перетинає площину ABC у відрізку, який є середньою лінією сторони AB.

Отже, обгрунтовано взаємне розміщення:

а) пряма MN перетинає пряму DC в її середині, пряма MN перетинає пряму BD в її середині.

б) пряма MN лежить в площині ABC і перетинає її у відрізку, який є середньою лінією сторони AB.