Если sinx+cosx=0,75 найдите sin^3x +cos^3x

Ответ:

Вычислим произведение синуса на косинус , зная что

[tex]\bf sinx+cosx=0,75\ \ ,\ \ \ sinx+cosx=\dfrac{3}{4}\ \ \Rightarrow \ \ \ (sinx+cosx)^2=\dfrac{9}{16}\ ,\\\\\\\underbrace{\bf sin^2x+cos^2x}_{1}+2\cdot sinx\cdot cosx=\dfrac{9}{16}\ \ ,\ \ \ \ 2\cdot sinx\cdot cosx=\dfrac{9}{16}-1\\\\\\2\cdot sinx\cdot cosx=-\dfrac{7}{16}\ \ \ ,\ \ \ sinx\cdot cosx=-\dfrac{7}{32}[/tex]  

Теперь разложим на множители сумму кубов по известной формуле

[tex]\bf sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sin^2x-sinx\cdot cosx+cos^2x)\\\\sin^3x+cos^3x=\dfrac{3}{4}\cdot \Big(1+\dfrac{7}{32}\Big)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{39}{32}=\dfrac{117}{128}[/tex]