Ответы 1
Решение уравнения x²y" + xy' = 1:
Для начала, найдем производную первого порядка от уравнения:
(x²y')' + (xy)' = 0
(x²y')' + xy' + y = 0
Теперь найдем вторую производную от уравнения:
[(x²y')' + xy' + y]' = 0
(x²y")' + (xy')' + y' = 0
(x²y")' + 2xy' + y' = 0
Распишем (x²y")':
2xy' + x²y" + 2y' = 0
x²y" + 2xy' + 2y' = 0
x²y" + 2xy' + 2y' = 0
Теперь объединим выражения:
x²y" + 3xy' + 2y' + y = 0
Разделим на x²:
y" + (3/x)y' + (2/x²)y' + (1/x²)y = 0
Заменим (1/x) на t:
y" + 3ty' + 2ty' + t²y' + t²y = 0
y" + (3t + 2t + t²)y' + t²y = 0
y" + (t³ + 5t)y' + t²y = 0
Теперь полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, которое можно решить стандартными методами.
Решение уравнения y" - 36y' = 36e^(6x):
Сначала найдем характеристическое уравнение:
r² - 36r = 0
r(r - 36) = 0
r₁ = 0, r₂ = 36
Таким образом, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
y_h = C₁e^(0x) + C₂e^(36x)
Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, предположим, что y_p принимает вид:
y_p = Ae^(6x)
Тогда:
y_p' = 6Ae^(6x)
y_p" = 36Ae^(6x)
Подставим полученные значения в неоднородное уравнение:
36Ae^(6x) - 36(6Ae^(6x)) = 36e^(6x)
36Ae^(6x) - 216Ae^(6x) = 36e^(6x)
-180Ae^(6x) = 36e^(6x)
A = -1/5
Таким образом, частное решение имеет вид:
y_p = -(1/5)e^(6x)
Окончательное решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:
y = y_h + y_p
y = C₁e^(0x) + C₂e^(36x) - (1/5)e^(6x)
где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий или дополнительных ограничений задачи.
ответы на свои вопросы
вопросы?
