решите пожалуйста, с небольшим объяснением

Ответ:

Радиус равен [tex]\displaystyle R = \frac{5\sqrt{5} }{8}[/tex] (ед.).

Площадь трапеции равен 8 ед.²

Объяснение:

Основания равнобедренной трапеции ABCD AD = 5 и ВС = 3. Точка К - середина AD. Известно, что окружность, проходящая через точки D, K, C, проходит также через точку N пересечения диагоналей AC и BD. Найдите радиус этой окружности и площадь трапеции.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция;

AD = 5 и ВС = 3;

АК = КD;

AC ∩ BD = N;

D, K, C, N ⊂ Окр.О.

Найти: R окр.О; S(ABCD)

Решение:

1. Рассмотрим ΔABD и ΔACD.

AB = CD (условие); AD - общая;

• В равнобедренной трапеции диагонали равны.

⇒ АС = BD

ΔABD = ΔACD (по трем сторонам, 3-й признак)

• В равных треугольниках соответственные элемента равны.

⇒ ∠CAD = ∠BDA

2. Рассмотрим ΔAND.

∠CAD = ∠BDA

• Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

⇒  ΔAND - равнобедренный.

АК = КD (условие)

⇒ NK - медиана.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

⇒ NK ⊥ AD.

3. Проведем высоту СН.

Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.

⇒ HD = (Ad - BC) : 2 = (5 - 3) : 2 = 1

Тогда АН = 5 - 1 = 4.

4. Рассмотрим ΔACD.

∠NKD = 90° - вписанный.

• Прямой вписанный угол опирается на диаметр.

⇒ ∠NCD = 90° (вписанный)

⇒ ΔACD - прямоугольный.

СН - высота.

• Квадрат высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, равен произведению проекций катетов.

⇒ СН² = AH · HD

CH² = 4 · 1 = 4   ⇒   CH = 2.

5. Найдем площадь трапеции.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

[tex]\displaystyle S(ABCD) = \frac{BC+AD}{2}\cdot CH = \frac{3+5}{2}\cdot2=8[/tex]  (ед.²)

6. Рассмотрим ΔANK и ΔАСН - прямоугольные.

∠CAD - общий.

⇒ ΔANK ~ ΔАСН

AK = AD : 2 = 2,5;   AH = 4;   CH = 2.

Запишем отношения сходственных сторон:

[tex]\displaystyle \frac{AK}{AH}=\frac{NK}{CH}\\ \\ \frac{2,5}{4}=\frac{NK}{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;NK= \frac{2,5\cdot 2}{4} =\frac{5}{4}[/tex]

7. Рассмотрим ΔKND - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ND² = NK² + KD²

[tex]\displaystyle ND^2=\frac{25}{16}+\frac{25}{4}=\frac{25+100}{16} =\frac{125}{16}\\ \\ ND=\frac{5\sqrt{5} }{4}[/tex]

8. Найдем радиус.

Диаметром окружности является  гипотенуза ND ΔKND.

• Радиус равен половине диаметра.

[tex]\displaystyle R = \frac{5\sqrt{5} }{8}[/tex] (ед.)

#SPJ1