помогите решить, даю 100 баллов. Дифференциальное уравнение ​

Ответ:

y =  -x · ln( 1 - ln|x| )

Пошаговое объяснение:

Найдите частное решение дифференциального уравнения , если y(1) = 0

[tex]y '-\dfrac{y}{x} = e^{\tfrac{y}{x} } \\\\\\ y ' = \dfrac{y}{x} + e^ {\tfrac{y}{x} }[/tex]

У нас имеется дифференциальное   уравнение вида

[tex]y '= \dfrac{y}{x}[/tex]

Данное уравнение  является однородным , соответственно мы можем ввести замену

[tex]u = \dfrac{y}{x} ~ ,~ y = ux ~, ~ y '= u'x + u[/tex]

Где u(x) = u  -  функция зависящая  от x

Тогда

[tex]\displaystyle y ' = \dfrac{y}{x} + e^ {\tfrac{y}{x} } \\\\ u'x + u = u + e^u \\\\ u'x = e^u \\\\ \frac{du}{dx} \cdot x = e^u ~ ~ \bigg | \cdot \frac{dx}{x} \\\\\\ du = e^u \frac{dx}{x} ~~ \big | : e^u \\\\\\ \frac{du}{e^u } = \frac{dx}{x} \\\\\\ \int e^{-u } \;du=\int\frac{dx}{x} \\\\\\ -\int e^{-u } \;d(-u)=\int\frac{dx}{x} \\\\\\ e^{-u } = -\ln |x| + C \\\\ e^{-u } = -\ln |x| + C \\\\ -u = \ln (C - \ln |x|) \\\\\\ u = -\ln (C - \ln |x|)[/tex]

Подставим  [tex]u = \dfrac{y}{x}[/tex]

[tex]\dfrac{y}{x} = -\ln (C - \ln |x|) \\\\ y = - x \ln (C - \ln |x|)[/tex]  - общее решение дифф. ур

Пользуясь тем что  y(1) = 0 , найдем константу

[tex]0 = - 1 \ln (C - \ln 1 ) \\\\ \ln C = 0 \\\\ C = 1[/tex]

Теперь мы можем найти частное решение

y =  -x · ln( 1 - ln|x| )