{(x+1)^2} = x^2
{} = Дробная часть

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

[tex]\left\{\left(x+1\right)^2\right\}=x^2[/tex]

По определению дробной части:

[tex]\left(x+1\right)^2-\left[\left(x+1\right)^2\right]=x^2[/tex]

Упрощаем записанное и получаем:

[tex]\left[\left(x+1\right)^2\right]=2x+1[/tex]

Или, что то же самое:

[tex]\left[x^2+\left(2x+1\right)\right]=2x+1[/tex]

Теперь заметим, что если [tex]2x+1[/tex] не целое, то равенство невозможно.

Тогда перейдем к системе:

[tex]\left\{\begin{array}{c}\left[x^2\right]+\left(2x+1\right)=2x+1\\2x+1\in\mathbb{Z}\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}\left[x^2\right]=0\\2x\in\mathbb{Z}\end{array}\right\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}x\in\left(-1;\;1\right)\\2x\in\mathbb{Z}\end{array}\right;[/tex]

Понятно, что существует только 3 значения [tex]x[/tex] из промежутка [tex]\left(-1;1\right)[/tex] таких, что [tex]2x\in\mathbb{Z}[/tex].

Это числа:

[tex]x=\pm\dfrac{1}{2},\;x=0[/tex].

Уравнение решено!