.........................................................

Ответ:

-17.

Объяснение:

Как известно, |p-q| - это расстояние между p и q. Поэтому уравнение

                                          |x+k|+|x-3|=8

имеет решениями те значения x, для которых сумма расстояний до минус k и 3 равно 8.

Заметим, что расстояние между -k и 3 равно |3+k|.

Если |3+k|>8, уравнение решений не имеет, поскольку для точек, лежащих между -k и 3, сумма расстояний до  -k и 3  равна |3+k|, а для точек, лежащих вне этого отрезка, сумма расстояний будет ещё больше.

Если |3+k|=8, множеством решений служит отрезок с концами в точках -k и 3.

Если |3+k|<8, решений будет два. В самом деле, пока мы находимся на отрезке с концами в -k и 3, сумма расстояний равна |3+k|. Если из правого конца отрезка сдвинуться на ω вправо (или из левого конца влево), оба расстояния увеличатся на ω, и поэтому сумма расстояний увеличится на 2ω. Чтобы сумма расстояний стала равна 8, нужно сдвинуться на такое ω, чтобы |3+k|+2ω=8⇒ω=(8-|3+k|)/2.    

Вывод: есть хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда

                                                   |3+k|≤8,

то есть

                                       -8≤3+k≤8; -11≤k≤5.

Поэтому a=-11; b=5; 2a+b=-17.

Замечание. Почему автору задания захотелось найти именно 2a+b, понять затруднительно.