найдите значение tg^2 a+(1/sin a)*(1/cos a)+ctg^2a если tga + ctga=2​

Ответ:

Используя тождество tga + ctga = 2, получим:

ctga = 2 - tga

тогда ctg^2a = (1/tga -1)^2 = (1/tga)^2 - 2/tga + 1

или:

ctg^2a = 1/tg^2a - 2/ctga + 1

Подставляем это выражение в исходное:

tg^2a + (1/sin a)*(1/cos a) + ctg^2a = tg^2a + (cos a * sin a)/(sin a * cos a) + (1/tg^2a - 2/ctga + 1) = tg^2a + 1 + (1/tg^2a - 2/(2-tga) + 1) = tg^2a + 1 + 1/tg^2a + (2/tga - 2)/(2-tga)

Упрощаем выражение (2/tga - 2)/(2-tga) с помощью того, что tga + ctga = 2:

(2/tga - 2)/(2-tga) = (2/tga - 2)/(2 - (2-ctga)) = (2/tga - 2)/ctga = 2*(1/tga - 1)/ctga

Тогда окончательно получаем:

tg^2a + (1/sin a)*(1/cos a) + ctg^2a = tg^2a + 1 + 1/tg^2a + 2*(1/tga - 1)/ctga =

= tg^2a + 1 + 1/tg^2a + 2*(1/tga - 1)/(2-tga) = tg^2a + 1 + 1/tg^2a + (2*(tga - 1))/(tg^2a * (2-tga))