Развязать неравенство (1/2)^х^2+х-2 ≥4^х-1

Ответ:

Для розв'язання даної нерівності, спробуємо спростити її:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

Спочатку спростимо праву частину за допомогою властивості: a^b = (e^ln(a))^b:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ (e^(ln(4)))^(x - 1)

Так як e^(ln(4)) = 4, можемо записати:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

2^(-x^2 - x + 2) ≥ 2^(2x - 2)

Застосуємо логарифм до обох боків нерівності, використовуючи властивість: log_a(b^c) = c * log_a(b):

(-x^2 - x + 2) * log(2) ≥ (2x - 2) * log(2)

-2x^2 - 2x + 4 ≥ 2x - 2

Перенесемо всі члени в одну частину нерівності:

-2x^2 - 4x - 2 ≥ 0

Поділимо обидві частини нерівності на -2, змінивши напрямок нерівності:

x^2 + 2x + 1 ≤ 0

Тепер розв'яжемо квадратну рівняння x^2 + 2x + 1 = 0:

(x + 1)(x + 1) = 0

(x + 1)^2 = 0

x + 1 = 0

x = -1

Таким чином, розв'язком даної нерівності є x ≤ -1.

Объяснение: