1. Известно, что sina + cosa = a. Найдите значение выражения sin^6a + cos^6a.

Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]

Преобразуем выражение:

[tex]\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =(\sin^2\alpha)^3 +(\cos^2\alpha)^3=[/tex]

[tex]=\big(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\big)\big((\sin^2\alpha )^2-\sin^2\alpha \cos^2\alpha +(\cos^2\alpha )^2\big)=[/tex]

[tex]=1\cdot\big((\sin^2\alpha )^2 +2\sin^2\alpha \cos^2\alpha+(\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha\big)=[/tex]

[tex]=(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha=1^2-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2[/tex]

Необходимо найти произведение синуса и косинуса, зная их сумму. Рассмотрим известное соотношение и возведем в квадрат левую и правую его части:

[tex]\sin \alpha + \cos\alpha = a[/tex]

[tex](\sin \alpha + \cos\alpha)^2 = a^2[/tex]

[tex]\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2[/tex]

[tex]1+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2[/tex]

[tex]2\sin\alpha \cos\alpha = a^2-1[/tex]

[tex]\sin\alpha \cos\alpha = \dfrac{a^2-1}{2}[/tex]

Подставим в ранее полученное соотношение для суммы шестых степеней:

[tex]\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3\cdot\left( \dfrac{a^2-1}{2} \right)^2=[/tex]

[tex]=1- \dfrac{3(a^4-2a^2+1)}{4} =\dfrac{4-3a^4+6a^2-3}{4} =\boxed{\dfrac{1+6a^2-3a^4}{4}}[/tex]