ДАЮ 90 БАЛЛОВ, ПОМОГИТЕ!!!

1) При яких значеннях n вектори а і в перпендикулярні (стрілочки над а і в). а(2;-1;3), в(1;3;n)
2) При яких значеннях m вектори а і в колінеарні (стрілочки над а і в) а(6;m;-10), в(3;-2;m)
3 Знайти скалярний добуток векторів, якщо їх модулі дорівнюють 5 і 6, а кут між ними 30 градусів.
4) Знайти косинус кута між векторами а і в (стрілочки над а і в) а(3;-1;2), в(1;3;-1)

Ответ:

1) Два вектори а і в є перпендикулярними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Скалярний добуток векторів а і в обчислюється за формулою:

а · в = а₁ * в₁ + а₂ * в₂ + а₃ * в₃

Підставляючи дані з умови задачі, отримаємо:

(2 * 1) + (-1 * 3) + (3 * n) = 0

2 - 3 + 3n = 0

3n - 1 = 0

3n = 1

n = 1/3

Тому, коли n = 1/3, вектори а(2;-1;3) і в(1;3;1/3) є перпендикулярними.

2) Два вектори а і в є колінеарними, якщо вони паралельні і їх скалярний добуток має однаковий знак з модулем добутку їх модулів. Тобто:

а · в = ±|а| * |в|

Для нашого випадку, ми можемо записати:

(6 * 3) + (m * -2) + (-10 * m) = ±(√(6² + m² + (-10)²) * √(3² + (-2)² + m²))

18 - 2m - 10m = ±(√(36 + m² + 100) * √(9 + 4 + m²))

-12m + 18 = ±(√(m² + 136) * √(13 + m²))

(18 - √(m² + 136) * √(13 + m²))/(-12) = ±1

Потрібно розв'язати це рівняння для значення m. Враховуючи позитивне значення, ми отримаємо:

(18 - √(m² + 136) * √(13 + m²))/(-12) = 1

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

m ≈ -1.872

Тому, приблизно при m = -1.872 вектори а(6;-1;-10) і в(3;-2;-1.872) є колінеарними.

3) Скалярний добуток векторів а і в обчислюється за формулою:

а · в = |а| * |в| * cos(θ)

де |а| і |в| - модулі векторів, а θ - кут між векторами.

За умовою задачі, |а| = 5, |в| = 6 і θ

= 30 градусів.

а · в = 5 * 6 * cos(30°)

а · в = 30 * √3/2

а · в = 15√3

Отже, скалярний добуток векторів дорівнює 15√3.

4) Косинус кута між векторами а і в можна обчислити за формулою:

cos(θ) = (а · в) / (|а| * |в|)

Підставляючи дані з умови задачі, отримаємо:

cos(θ) = (3 * 1 + (-1) * 3 + 2 * (-1)) / (√(3² + (-1)² + 2²) * √(1² + 3² + (-1)²))

cos(θ) = (3 - 3 - 2) / (√14 * √11)

cos(θ) = -2 / (√154)

Отже, косинус кута між векторами а(3;-1;2) і в(1;3;-1) дорівнює -2/√154.

Объяснение: