Всего в ящике 15 ручек: 3 черных, 2 красных и 10 синих. Какова вероятность взять 2 черных ручек, 5 синих и 1 красную?

Ответ: Вероятность взять 2 черные , 5 синих и 1 красную ручку равна 168/715

Пошаговое объяснение:

Для того чтобы найти кол-во способов  которыми мы можем достать  k  элементов  из  n элементов одного типа , мы будет использовать формулу сочетаний :

[tex]\boldsymbol{\dispaystyle C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k !} }[/tex]

В общей сложности у нас 15 ручек , из них требуется достать
2 + 5 + 1 = 8 ручек ,  среди  которых  2 черные , 5 синих и 1 красная

Общее число способов достать 8 ручек из 15 равно

[tex]C_{15}^ 8 = \dfrac{15!}{8! \cdot (15-8)!} = \dfrac{9\cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{7!} = 6435[/tex]

Теперь переходим к нахождению способов , которые удовлетворяют условию

2 черные ручки из 3-x мы можем достать

[tex]C_3^2 = 3[/tex]  способами

5 синих ручек из 10 можно достать
[tex]C_{10}^5 = \dfrac{10!}{5!\cdot 5!} = \dfrac{\diagup\!\!\! \!6\cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \diagup\!\!\!\!\!10 }{\diagup\!\!\!\!\!\!120} = \dfrac{7\cdot 8 \cdot 9 }{2} = 7 \cdot 36 = 252[/tex]  способами
1 красную из 2 можно достать

[tex]C_2^1 = 2[/tex]  способами

А нам требуется достать 2 черные , 5 синих и* 1 красную

"и" - это и есть ключевая буква ,  с помощью  нее можно понять  , что   мы будем умножать сочетания :

[tex]C_3^2\cdot C_{10}^5 \cdot C_2^1 = 3 \cdot 252 \cdot 2 = 1512[/tex]

Чтобы найти искомую вероятность , разделим данные способы на общее число способов достать 8 ручек из 15

[tex]P(A) = \dfrac{1512}{6435} =\dfrac{168}{715}[/tex]

#SPJ1