Лінійне не однорідне y’’-8y’+16y=2sinx+3cosx

Ответ:

• Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:[tex]\displaystyle y=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}+\frac{6}{289} \sin x+\frac{61}{289} \cos x[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]y''-8y'+16y=2 \sin x+3 \cos x[/tex]

1. Составляем характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения и находим его корни:

[tex]y''-8y'+16y=0\\k^2-8k+16=0\\(k-4)^2=0\\k_{1,2}=4[/tex]

Получили два действительных кратных корня, тогда общее решение однородного уравнения запишется следующим образом:

[tex]\displaystyle Y=C_1e^{k_1x}+C_2xe^{k_2x}=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}[/tex]

2. Находим частное решение неоднородного уравнения.

Частное решение ищем в следующем виде:

[tex]\widetilde{y}=A\sin x+B\cos x[/tex]

Находим производные 1-ого и 2-ого порядков:

[tex]\widetilde{y}'=A\cos x-B\sin x\\\widetilde{y}''=-A\sin x-B\cos x[/tex]

Подставляем [tex]\widetilde{y}[/tex], [tex]\widetilde{y}'[/tex] и [tex]\widetilde{y}''[/tex] в исходное уравнение и методом неопределенных коэффициентов находим [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]:

[tex]\displaystyle -A\sin x-B\cos x-8(A\cos x-B\sin x)+16(A\sin x+B\cos x)=2 \sin x+3 \cos x\\-A\sin x-B\cos x-8A\cos x+8B\sin x+16A\sin x+16B\cos x=2 \sin x+3 \cos x\\15A\sin x+15B\cos x-8A\cos x+8B\sin x=2 \sin x+3 \cos x\\(15A+8B)\sin x+(15B-8A)\cos x=2 \sin x+3 \cos x\\\left \{ {{15A+8B=2} \atop {15B-8A=3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=\frac{6}{289} } \atop {B=\frac{61}{289} }} \right.[/tex]

Тогда частное решение запишется следующим образом:

[tex]\displaystyle \widetilde{y}=\frac{6}{289} \sin x+\frac{61}{289} \cos x[/tex]

3. Теперь можем записать общее решение неоднородного уравнения:

[tex]\displaystyle y=Y+\widetilde{y}=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}+\frac{6}{289} \sin x+\frac{61}{289} \cos x[/tex]

Примечание:

Распишем более подробно решение системы. Для разнообразия и вспоминания воспользуемся методом Крамера, так как он часто фигурирует в методе Лагранжа:

[tex]\displaystyle \left \{ {{15A+8B=2} \atop {-8A+15B=3}} \right. \\\Delta = \left|\begin{array}{cc}15&8\\-8&15\end{array}\right| = 15\cdot 15-(-8)\cdot 8=225+64=289\\\Delta_1=\left|\begin{array}{cc}2&8\\3&15\end{array}\right|=2\cdot 15-3\cdot 8=6\\\Delta_2=\left|\begin{array}{cc}15&2\\-8&3\end{array}\right|=15\cdot 3-(-8)\cdot 2=61\\A=\frac{\Delta_1}{\Delta} =\frac{6}{289} \\B=\frac{\Delta_2}{\Delta} =\frac{61}{289}[/tex]

#SPJ1