Given 3x+y = 12, find the maximum value of x^2 −y^2

Даю 60 баллов
I’ll give 60 points

Ответ:

Дано:   3x+y=12  .

Найти максимальное значение выражения   x²- y² .          

[tex]\bf 3x+y=12\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y=12-3x\\\\x^2-y^2=x^2-(12-3x)^2=x^2-(144-72x+9x^2)=-8x^2+72x-144[/tex]  

Найдём максимальное значение выражения  [tex]\bf z=-8x^2+72x-144[/tex]  .

[tex]\bf z=-8(x^2-9x+18)\ \ ,\ \ \ z=-8\, (x-6)(x-3)[/tex]

[tex]\bf z'=-8\cdot 2x+72=-8\cdot (2x-9)=0\ \ ,\ \ 2x=9\ \ ,\ \ x=4,5[/tex]    

В стационарной точке х=4,5  функция  z  будет принимать максимальное значение, так как при переходе через  х = 4,5 знак производной z' меняется с плюса на минус :    + + + + + [4,5 ] - - - - -    [tex]\bf x_{max}=4,5[/tex]  

Подставим значение  х = 4,5 в выражение .

[tex]\bf z(4,5)=-8\, (4,5-6)(4,5-3)=-8\cdot (-1,5)\cdot 1,5=18\\\\(x^2-y^2)\Big|_{x=4,5}=18[/tex]                

P.S.  Можно найти сначала  у :  

[tex]\bf y=12-3x=12-3\cdot 4,5=12-13,5=-1,5[/tex]  ,  а затем

[tex]\bf x^2-y^2=4,5^2-(-1,5)^2=20,25-2,25=18[/tex]        

Ответ:  18 .