4. Решите систему уравнений

[tex]\left \{ {{\frac{3}{y} -\frac{1}{x} = 1\\} \atop {\frac{x+y}{x} = 3 }} \right. \\\\[/tex]
И укажите в ответе значение суммы x₀+y₀, где (x₀;y₀) - решение этой системы

а)-1 б)1 в)1,5 г)2,5

Ответ:

В) [tex]x + y = 1,5[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\left \{ {{\frac{3}{y} -\frac{1}{x} =1, [1]} \atop {\frac{x+y}{x} =3;[2]}} \right.[/tex]

Перед нами система уравнений.

При решении систем уравнений мы можем поступать различными способами. Например, мы можем взять уравнение [2] и обе части этого уравнения умножить на "x" (одно из свойств уравнений - обе части в любом уравнении мы можем умножать или делить на одно и то же число).

Тогда мы получим:

[tex]\frac{x(x+y)}{x} = 3x;[/tex]

В левой стороне "иксы" сокращаются, так как:

[tex]\frac{x}{x} *\frac{x+y}{1} = 3x;[/tex]

Получаем простое равенство:

[tex]x+y=3x;[/tex]

Значит (ещё одно свойство уравнений - при переносе числа через знак равно, знак перед числом меняется на противоположный):

[tex]y=3x-x;[/tex]

Тогда получаем, что:

[tex]y=2x.[/tex]

Теперь, зная, что y = 2x, мы можем заменить "y" на "2x" в уравнении [1]:

[tex]\frac{3}{2x} -\frac{1}{x} = 1;[/tex]

Приведём дроби к общему знаменателю (в данном случае, таковым будет 2x), не забыв домножить числители на дополнительные множители (дополнительный множитель - это результат деления нового знаменателя дроби на старый. У нас, для первой дроби, 2x - новый знаменатель, делим на старый знаменатель - тоже 2х. Значит 2х : 2х = 1, значит дополнительный множитель - 1, умножим на него числитель той же дроби. Со второй дробью поступаем аналогично, только новый знаменатель равен 2х, а вот старый - х. Значит дополнительным множителем для второй дроби будет: 2х : х = 2):

[tex]\frac{3*1}{2x} -\frac{1*2}{2x} =1;[/tex]

[tex]\frac{3-2}{2x} =1;[/tex]

[tex]\frac{1}{2x} =1;[/tex]

Либо из определения деления чисел (делитель равен частному делимого и частного), либо из логики (в результате деления частное может быть равно 1 только тогда, когда делимое и делитель равны), получаем:

[tex]2x=1;[/tex]

Отсюда (либо из свойств умножения - множитель равен частному произведения и другого множителя; либо из свойств уравнения - обе части мы можем разделить на одно и тоже число) получаем:

[tex]x = \frac{1}{2};[/tex]

[tex]x=0,5.[/tex]

Теперь, зная "x", нетрудно найти "y", подставив "x" в любое из уравнений. В данном случае нам проще подставить "x" в уравнение [2], так как там одна дробь:

[tex]\frac{0,5+y}{0,5} =3;[/tex]

Из определения деления (делимое равно произведению делителя и частного):

[tex]0,5+y=0,5*3;[/tex]

[tex]0,5+y=1,5;[/tex]

Перенесём 0,5 в правую сторону уравнения (поменяв знак!):

[tex]y = 1,5-0,5;[/tex]

[tex]y= 1.[/tex]

Итого мы получаем, что:

[tex]\left \{ {{x=0,5,} \atop {y=1.}} \right.[/tex]

В задании просится найти сумму корней "x" и "y", значит:

[tex]x+y=0,5+1=1,5.[/tex]
__________

Удачи Вам! :)