Решить задачу (пожалуйста, поподробней):

Поезд движется по закруглению радиусом R = 100 м, причем

зависимость его координаты от времени дается уравнением x = Ct³ , где

С = 10 м/с³ – постоянная величина. Найти полное ускорение поезда α в тот

момент, когда его скорость υ=54 км/ч.

Ответ должен получится: а = 4,8 м/с²

Ответ:

Полное ускорение поезда равно приблизительно 42,5 м/c²

Примечание:

[tex]\overrightarrow{a_{\tau}} \perp \overrightarrow{a_{n}}[/tex]

Объяснение:

Дано:

R = 100 м

[tex]x = Ct^{3}[/tex]

[tex]C =[/tex] 10 м/с³

[tex]v =[/tex] 54 км/ч = 15 м/c

Найти:

[tex]a \ - \ ?[/tex]

--------------------------------------

Решение:

Механический смысл производной:

[tex]v = x' = (Ct^{3})' = 3Ct^{2}[/tex] - скорость от времени

[tex]a = x'' = (Ct^{3})'' = ((Ct^{3})')' = (3Ct^{2})' = 6Ct[/tex]

Нормальное ускорение (центростремительное):

[tex]\boxed{a_{n} = \dfrac{v^{2}}{R}}[/tex]

Для нахождения тангенциального ускорения составим систему уравнений:

[tex]\displaystyle \left \{ {{a_{\tau} = 6Ct} \atop {v=3Ct^{2} }} \right \ \left \{ {{a_{\tau} = 6Ct} \atop {t = \sqrt{\dfrac{v}{3C} } }} \right \Longrightarrow \boxed{ {a_{\tau} = 6C\sqrt{\dfrac{v}{3C}} }}[/tex]

Полное ускорение:

[tex]a = \sqrt{a_{\tau}^{2} + a_{n}^{2}} = \sqrt{ \Bigg(6C\sqrt{\dfrac{v}{3C}} \Bigg)^{2} + \Bigg(\dfrac{v^{2}}{R} \Bigg)^{2} } = \sqrt{\dfrac{36vC^{2}}{3C} + \dfrac{v^{4}}{R^{2}} } =\sqrt{v \Bigg(12C + \dfrac{v^{3}}{R^{2}} \Bigg)}[/tex]

[tex]\boldsymbol{\boxed{a = \sqrt{v \Bigg(12C + \dfrac{v^{3}}{R^{2}} \Bigg)}}}[/tex]

Расчеты:

[tex]\boldsymbol a =[/tex] √(15 м/c(12 · 10 м/с³ + (3 375 м³/с³ / 10 000 м²) )) [tex]\boldsymbol \approx[/tex] 42,5 м/c²

Ответ: [tex]a \approx[/tex] 42,5 м/c².