Найти экстремумы функции

z=x^2+xy+y^2-2x-y-3

Ответ:

в точке M(1;0) имеется минимум z(1;0) = -4

Пошаговое объяснение:

Найдем частные производные

[tex]\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =2x+y-2\\\\\\\frac{\partial z}{\partial y} =x+2y-1[/tex]

Решим систему

[tex]\displaystyle \left \{ {{2x+y-2=0} \atop {x+2y-1=0}} \right.[/tex]

Из второго  уравнения выражаем x и подставляем в первое.

x = 1 - 2y

2(1 - 2y) +y -2 = 0

2-4y +y -2 = 0

-3y = 0

y = 0

x = 1-2*0

x = 1

M(1;0) - одна критическая точка.

Теперь определимся, какая это точка.

Найдем значение вторых производных в критической точке.

[tex]\displaystyle A = \frac{\partial ^2z}{\partial x ^2} _{(1;0)}}=2\\\\\\C = \frac{\partial ^2z}{\partial y ^2} _{(1;0)}}=2\\\\\\B=\frac{\partial ^2z}{\partial x\;\partial y ^2} _{(1;0)}}=1[/tex]

AC - B² = 3 > 0 и A > 0 , значит  в точке M(1;0) имеется минимум

z(1;0) = -4

Таким образом функция имеет минимум в точке M(1;0).

z(1;0) = -4.

#SPJ1