ЕГЭ-ПРОФИЛЬ 11 КЛАСС
2(log3(tgx))^2+5log3(ctgx)+2=0
Помогите решить, хотя бы привести к одному аргументу

[tex]2(log_3 (tg x))^2+5log_3 (ctg x)+2=0[/tex]
ОДЗ: [tex]tg x>0; ctg x>0; x \neq \frac{\pi*n}{2}[/tex] , n  є Z
--[tex]ctgx=\frac{1}{tg x}=(tg x)^{-1}[/tex]
[tex]log_a b^c=c*log_a b[/tex]
[tex]2(log_3 (tg x))^2+5log_3 (tg x)^{-1}+2=0[/tex]
[tex]2(log_3 (tg x))^2-5log_3 (tg x)+2=0[/tex]
замена
[tex]log_3 (tg x)=t[/tex]
[tex]2t^2-5t+2=0[/tex]
[tex](t-2)(2t-1)=0[/tex]
[tex]t-2=0; t_1=2[/tex]
[tex]2t-1=0; t_2=0.5[/tex]
--при желании квадратное уравнение легко решается через дискриминант
возвращаемся к замене
[tex]t=2[/tex]
[tex]log_3 (tg x)=2[/tex]
[tex]tg x=3^2=9[/tex]
[tex]x=arctg 9+\pi*k[/tex], k є Z -- проходит ОДЗ

[tex]t=0.5[/tex]
[tex]log_3 (tgx)=0.5[/tex]
[tex]tg x=3^{0.5}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]x=arctg (\sqrt{3})+\pi*l[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{3}+\pi*l[/tex], l є Z -- проходит ОДЗ
в ответ обе серии решений