Відомі вершини трикутника A(1 ;1 ), B(5 ; 7), C( -2;3 ). Знайти довжину сторони АВ, рівняння сторони АВ, довжину медіани ВМ та її рівняння, величину кута ВАС, довжину висоти ВD та її рівняння, координати точки Р перетину медіан трикутника, площу трикутника АВС.​

Відомі вершини трикутника A(1; 1), B(5; 7), C(-2; 3).  

1) Знайти довжину сторони АВ.

Длина АВ = √(5-1)² + (7-1)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.

2) Рівняння сторони АВ.

Вектор АВ = ((5-1); (7-1)) = (4; 6).

Уравнение АВ: (x – 1)/4 = (y – 1)/6 каноническое.

                         6x – 4y – 2 = 0 общее, или, сократив на 2:

                         3x – 2y – 1 = 0.

3) Довжину медіани ВМ та її рівняння.

Точка М =  (A(1; 1 + C(-2; 3))/2 = (-0,5; 2).

Вектор ВМ = (-0,5-5; 2-7) = (-5,5; -5).

Длина ВМ =  √((-5,5)² + (-5)²) = √(30,25 + 25) = √55,25 ≈ 7,43303.

Уравнение BM: (x – 5)/(-5,5) = (y – 7)/(-5) каноническое.

                         -5x + 5,5y – 13,5 = 0 общее, или, умножив на -2:

                         10x - 11y + 27 = 0.

4) Величину кута ВАС.

Вектор АВ найден и равен (4; 6),  

его модуль = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.  

Находим вектор АС. Точки A(1; 1), C(-2; 3).

АС= ((-2-1); (3-1)) = (-3; 2), модуль = √((-3)² +2²) = √(9 + 4) = √13.

cos BAC = (4*(-3) + 6*2)/( 2√13*√13) = 0/52 = 0.

Угол ВАС равен arccos 0 = 90 градусов.

5) Довжину висоти ВD та її рівняння. Точка B(5; 7).

Уравнение высоты BD.

Она перпендикулярна стороне AС.

Вектор AС найден и равен (-3; 2).

Для прямой BD он будет нормальным вектором.

Уравнение BD: -3*(x - 5) + 2*(y - 7) = 0,

                          -3x + 15 + 2y - 14 = 0, умножим на -1:

                          3x - 2y - 1 = 0.

Длину BD находим по формуле высоты:

h = 2S/AC = 2*13/√13 = 2√13 ≈ 7,2111.

Величина площади найдена в пункте 7.

6) Координати точки Р перетину медіан трикутника.  

Они находятся как среднеарифметическое координат вершин треугольника.

Р = A(1; 1) + B(5; 7) + C(-2; 3))/3 = ((1+5-2)/3; (1+7+3)/3) = ((4/3); (11/3)).

7) Площу трикутника АВС.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:

S=±(1/2)∣x1−x3      y1−y3∣

          ∣x2−x3       y2−y3∣     Точки A(1; 1),  B(5; 7),  C(-2; 3).  

S = (1/2)|1 - (-2)         1 - 3|

             |5 - (-2)       7 – 3|  = (1/2)*(3*4 – (-2)*7) = 13.