Пусть десятичная запись числа А состоит из ста семерок,
Найдите остаток от деления числа А на
1. 77
2,777
3,7777777
4,77...777(всего 32 семерки)

1) Все очень просто  разложим   число 7777777777777.... 100  cемерок  в виде следующей   суммы:
77+77*10^2+77*10^4+77*10^98  и  получим наше   число  то есть очевидно что делится без остатка  тк каждое слагаемое делится  на 77
2)  теперь то  же число в виде другой суммы:  поскольку семерок 100 ,то
100 при делении  на 3  дает  33  и  в остатке 1  тогда  всего:
7+777*10+777*10^4.....+777*10^65 то  есть  все слагаемые  кроме последнего делятся на 777 то  есть  остаток равен  от  деления на 777  числа 7 То  есть само число 7,то  есть остаток 7
3) Теперь мы понимаем сам  принцип  что остаток  от  деления  равен  остатку от деления на 7777777 равен числу с числом семерок   равным остатку от  деления числа 100 на 7 тк всего 7  семерок. он равен 2 тк 7*14=98
Тогда  сам остаток  равен  остатку от деления 77 на 7777777,то есть   число 77
4)И  по тому же принципу находим остаток от деления 100 на 32 остаток 4 тк  3*32=96
А  значит наш остаток равен остатку от деления на это число числа 7777,то  есть само число 7777